2023年初中数学一元二次方程解法

三、一元二次方程解法：

1. 第一步：解一元二次方程时，如果给的不是一元二次方程的一般式，首先要化为一元二次方程的一般式，再确定用什么方法求解。

2. 解一元二次方程的常用方法：

(1)直接开方法：把一元二次方程化为一般式后，如果方程中缺少一次项，是一个形如ax2+c=0的方程时，可以用此方法求解。

解法步骤：①把常数项移到等号右边，ax2=−c;

②方程中每项都除以二次项系数，x2=−ca;

③开平方求出未知数的值：x=±−ca

(2)因式分解法：把一元二次方程化为一般式后，如果方程左边的多项式可以因式分解的话，可以使用此方法求解。

解法步骤：①把方程的左边因式分解，转化为两个因式乘积的形式;

②令每个因式分别等于0，进而求出方程的两个根;

例：解关于x的方程：()x2−(m+n)x+mn=0

解：把方程左边因式分解成：(x-m)(x+n)=0

∴x1=m，x2=n

(3)配方法：当一元二次方程化为一般式后，不能用直接开方和因式分解的方法求解时，可以使用此方法。

解法步骤：①若方程的二次项系数不是1，方程中各项同除以二次项系数，使二次项系数为1;

②把常数项移到等号右边;

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;

④方程左边变成一个完全平方式，右边合并同类项，变为一个实数;

⑤方程两边同时开平方，从而求出方程的两个根;

例：解方程：3x2+12x−6=0

解：方程两边同除以3得：

x2+4x−2=0

移项，得：x2+4x=2

∴x2+4x+22=2+22

即：(x+2)2=6

∴ x+2=±√6

∴，x1=−2+6，x2=−2−6

(4)公式法：利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程，适用于所有的一元二次方程。

求根公式：，其中a≠0。

解法步骤：①先把一元二次方程化为一般式;’

②找出方程中a、b、c等各项系数和常数值;

③计算出b2-4ac的值;

④把a、b、b2-4ac的值代入公式;

⑤求出方程的两个根;

例：解方程：x2−4x+4=0

解：(1)方程中：a=1，b=-4，c=4

△=b2−4ac=(−4)2−4×1×4=0

∴x={-(-4)±√0}/2×1=2，∴原方程根为x1=x2=2