2023年初中数学压轴题解析：四边形综合问题

四边形综合问题

【典型例题1】2020年

本题摘自《初中数学典型题思路分析》的赠送电子资料.

如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F，已知OB=8.

(1)求证：四边形AEFD为菱形.

(2)求四边形AEFD的面积.

(3)若点P在x轴正半轴上(异于点D)，点Q在y轴上，平面内是否存在点G，使得以点A，P，Q，G为顶点的四边形与四边形AEFD相似?若存在，求点P的坐标;若不存在，试说明理由.

【思路分析】

(1)根据邻边相等的四边形是菱形证明即可.

(2)连接DE，求出△ADE的面积即可解决问题.

(3)首先证明AK=3DK，①当AP为菱形的一边，点Q在x轴的上方，有图2，图3两种情形.②当AP为菱形的边，点Q在x轴的下方时，有图4，图5两种情形.③如图6中，当AP为菱形的对角线时，有图6一种情形.分别利用相似三角形的性质求解即可.

【答案解析】

(1)证明：如图1中，

∵AE∥DF，AD∥EF，

∴四边形AEFD是平行四边形，

∵四边形ABOC是正方形，

∴AC=AB=OC=OB，∠ACE=∠ABD=90°，

∵E，D分别是OC，OB的中点，

∴CE=BD，

∴△CAE≌△ABD(SAS)，

∴AE=AD，

∴四边形AEFD是菱形.