已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，P是椭圆上任意一点，则当直线PM，PN的斜率都存在时，其乘积恒为定值．类比椭圆，写出双曲线C＇：x2a2-

所属学校： 科目:化学 2020-06-17 07:38:52

问题描述：

已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，P是椭圆上任意一点，则当直线PM，PN的斜率都存在时，其乘积恒为定值．类比椭圆，写出双曲线 C＇：
x 2
a 2
-
y 2
b 2
=1(a＞0，b＞0) 的类似性质，并加以证明．

最佳答案：

若M、N是双曲线 C＇：
x 2
a 2
-
y 2
b 2
=1(a＞0，b＞0) 上关于原点对称的两个点，P是双曲线上任意一点，则当直线PM，PN的斜率都存在时，其乘积恒为定值
b 2
a 2
．证明如下：
设P（m，n）是双曲线C＇上的任意一点，M（x 0 ，y 0 ），N（-x 0 ，-y 0 ）是双曲线上的关于原点对称的两个点．
则
m 2
a 2
-
n 2
b 2
=1 ，
x 20
a 2
-
y 20
b 2
=1 ，
∴ n 2 -
y 20
= b 2 (
m 2
a 2
-1)- b 2 (
x 20
a 2
-1) =
b 2
a 2
( m 2 -
x 20
) ．
∴k PM ?k PN =
n- y 0
m- x 0
?
n+ y 0
m+ x 0
=
n 2 -
y 20
m 2 -
x 20
=
b 2
a 2
为定值．
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