如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2AB，F是CD的中点．

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2AB，F是CD的中点．

（1）求证：平面CBE⊥平面CDE；

（2）求二面角C﹣BE﹣F的余弦值．

【答案】

证明：（1）因为DE⊥平面ACD，DE⊂平面CDE，

所以平面CDE⊥平面ACD．

在底面ACD中，AF⊥CD，由面面垂直的性质定理知，AF⊥平面CDE．

取CE的中点M，连接BM、FM，

由已知可得FM=AB且FM∥AB，则四边形FMBA为平行四边形，从而BM∥AF．

所以BM⊥平面CDE．

又BM⊂平面BCE，则平面CBE⊥平面CDE．

（2）解：过F作FN⊥CE交CE于N，过N作NH⊥BE，连接HF，

则∠NHF就是二面角C﹣BE﹣F的平面角．

在Rt△FNH中，NH=，FH=，

所以cos∠NHF==

故二面角C﹣BE﹣F的余弦值为

【解析】

（1）取CE的中点M，连接BM、FM，通过证明BM⊥平面CDE，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面 BCE⊥平面 CDE．

（2）过F作FN⊥CE交CE于N，过N作NH⊥BE，连接HF，则∠NHF就是二面角C﹣BE﹣F的平面角．

【考点精析】关于本题考查的平面与平面垂直的判定，需要了解一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能得出正确答案．