已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2+3y2=4上，C在直线l：y=x+2上，且AB∥l．

已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2+3y2=4上，C在直线l：y=x+2上，且AB∥l．

（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；

（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．

【答案】

解：（Ⅰ）因为AB∥l，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x．

设A，B两点坐标分别为（x1 ， y1），（x2 ， y2）．

由得x=±1．

所以|AB|=．

又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离．

所以h=，S△ABC=|AB|•h=2．

（Ⅱ）设AB所在直线的方程为y=x+m，

由得4x2+6mx+3m2﹣4=0．

因为A，B在椭圆上，

所以△=﹣12m2+64＞0．

设A，B两点坐标分别为（x1 ， y1），（x2 ， y2），

则x1+x2=﹣，x1x2=，

所以|AB|=．

又因为BC的长等于点（0，m）到直线l的距离，即|BC|=．

所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=﹣m2﹣2m+10=﹣（m+1）2+11．

所以当m=﹣1时，AC边最长，（这时△=﹣12+64＞0）

此时AB所在直线的方程为y=x﹣1．

【解析】

（1）注意到直线AB和l平行，则斜率相等，得到直线AB的方程．再由以AB为底，计算三角形面积．

（2）由弦长公式算出AB，点到直线的距离算出BC，再根据勾股定理，得到AC的表达式，从而求出最大值．