已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．

已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．

【答案】

6a ;

【解析】

如图，

连接OA、OB，过点O作OM⊥AB于点M，由题意易证△OAB是等边三角形，从而得到AB=a，可得正六边形周长为6a；再由“等腰三角形的三线合一或垂径定理”可得AM=，结合勾股定理可求得OM，即可求△OAB的面积，再求正六边形的面积.

如图，连接OA、OB，过点O作OM⊥AB于点M，

∵六边形ABCDEF是正六边形，

∴∠AOB=，

∵OA=OB，

∴△OAB是等边三角形，

∴AB=a=BC=CD=DE=EF=FA，

∴C正六边形ABCDEF=6a；

∵OM⊥AB于点M，△OAB是等边三角形，

∴AM=，

∴OM=，

∴S△OAB=，

∴S正六边形ABCDEF=6 S△OAB=.