在平面直角坐标系中，点A(a ,2<img alt="1" src="/tk/20210512/1620768995967.png"/>)是直线y=

在平面直角坐标系中，点A(a ,2)是直线y=x上一点，以A为圆心，2为半径作⊙A，若P(x,y)是第一象限内⊙A上任意一点，则的最小值为（ ）

A. 1 B. C. —1 D.

【答案】

D

【解析】

如图所示，当直线OP与圆A相切时，连接AP，过P作PH⊥x轴，此时取得最小值，利用切线的性质得到AP垂直于OP，在直角三角形AOP中，根据到角两边距离相等的点在角的平分线上确定出∠AOP＝30°，为tan∠30°的值，求出即可．

详解:如图所示，当直线OP与圆A相切时，连接AP，过P作PH⊥x轴，此时取得最大值，

∵点A(a ,2)是直线y=x上一点，

∴a=2,

∴A(2 ,2).

∵以A为圆心，2为半径作⊙A，

∴⊙A与y轴相切.

则当直线OP与圆A相切时，取得最小值，

∵∠AOy=∠AOP＝30°，

∴∠AOx＝30°，

∴此时＝tan30°＝，

则的最小值为．

故选：D．

点睛:

此题考查了切线的性质，坐标与图形性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．