已知f（x）=cos2x+2sin（+x）sin（π﹣x），x∈R

已知f（x）=cos2x+2sin（+x）sin（π﹣x），x∈R

（Ⅰ）最小正周期及对称轴方程；

（Ⅱ）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）=﹣ ， a=3，求BC边上的高的最大值．

【答案】

解：（Ⅰ）f（x）=cos2x+2sin（+x）sin（π﹣x）=cos2x﹣2cosxsinx=cos2x﹣sin2x=2（cos2x﹣sin2x）=2cos（2x+），

∴T==π，

令2x+=kπ（k∈Z），即x=﹣（k∈Z），

∴函数f（x）的对称轴方程为x=﹣（k∈Z），

（Ⅱ）∵f（x）=2cos（2x+），

∴f（A）=2cos（2A+）=﹣，即cos（2A+）=﹣，

∵0＜A＜，

∴＜2A+＜，

∴2A+=，

∴A=．

设BC边上的高为h，

则S△ABC=bcsinA=a•h，即bc=2h，h=bc，

∵cosA===，

∴bc+9=b2+c2 ，

∵b2+c2≥2bc，当且仅当b=c时，等号成立．

∴bc+9≥2bc，bc≤9，此时b=c，

∵A=，

∴b=c=a=3，等号能成立．

∴此时h=．

∴h的最大值为．

【解析】

（Ⅰ）利用二倍角公式，诱导公式和两角和公式对函数解析式进行化简，利用三角函数图象和性质求得其最小正周期T，及对称轴．

（Ⅱ）利用三角形面积公式得到h和bc的关系式，进而利用余弦定理得到b和c的关系式，利用基本不等式的性质求得bc的最大值，进而求得h的最大值．