已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）．

已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）．

（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；

（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）+ ， 求函数h（x）的单调区间；

【答案】

解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，f（1）=1，切点（1，1），

∴，∴k=f′（1）=1﹣2=﹣1，

∴曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．

（Ⅱ），定义域为（0，+∞），=，

①当a+1＞0，即a＞﹣1时，令h′（x）＞0，

∵x＞0，∴x＞1+a

令h′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1+a．

②当a+1≤0，即a≤﹣1时，h′（x）＞0恒成立，

综上：当a＞﹣1时，h（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增．

当a≤﹣1时，h（x）在（0，+∞）上单调递增．

【解析】

（Ⅰ）求出切点（1，1），求出 ， 然后求解斜率k，即可求解曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程．

（Ⅱ）求出函数的定义域，函数的导函数，①a＞﹣1时，②a≤﹣1时，分别求解函数的单调区间即可．

【考点精析】利用函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．