已知椭圆C：<img alt="1" src="/tk/20210512/1620750839765.png"/>（a＞b＞0）上的左、右顶点分别为

已知椭圆C：（a＞b＞0）上的左、右顶点分别为A，B，F1为左焦点，且|AF1|=2，又椭圆C过点(0,2)．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）点P和Q分别在椭圆C和圆x2+y2=16上（点A，B除外），设直线PB，QB的斜率分别为k1 ， k2 ， 若k1= ， 证明：A，P，Q三点共线．

【答案】

解：（Ⅰ）由已知可得a﹣c=2，b=2，又b2=a2﹣c2=12，

解得a=4．

故所求椭圆C的方程为=1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（﹣4，0），B（4，0）．设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），

∴．

∵P（x1 ， y1）在椭圆C上，

∴，即．

∴．

又∵k1=，

∴kPAk2=﹣1．①

由已知点Q（x2 ， y2）在圆x2+y2=16上，AB为圆的直径，

∴QA⊥QB．

∴kQA•k2=﹣1．②

由①②可得kPA=kQA ．

∵直线PA，QA有共同点A，

∴A，P，Q三点共线．

【解析】

（Ⅰ）由已知可得a﹣c=2，b=2 ， 又b2=a2﹣c2 ， 解出即可得出．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（﹣4，0），B（4，0）．设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），利用斜率计算公式、P（x1 ， y1）在椭圆C上，可得kPA•k1 ， 又k1= ，

可得kPAk2 ． 由已知点Q（x2 ， y2）在圆x2+y2=16上，AB为圆的直径，可得kQA•k2=﹣1．只要证明kPA=kQA即可．