已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线y2=4x的焦点，离心率是 ．

已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线y2=4x的焦点，离心率是 ．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆E相交于A、B两点，且在x轴上存在点M，使得与k的取值无关，试求点M的坐标．

【答案】

解：（1）由题意，椭圆的焦点在x轴上，且a=，

c=e•a=×=，

故b===，

所以，椭圆E的方程为，即x2+3y2=5

（2）将y=k（x+1）代入方程E：x2+3y2=5，得（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣5=0；

设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），M（m，0），则

x1+x2=﹣，x1x2=；

∴=（x1﹣m，y1）=（x1﹣m，k（x1+1）），=（x2﹣m，y2）=（x2﹣m，k（x2+1））；

∴=（k2+1）x1x2+（k2﹣m）（x1+x2）+k2+m2

=m2+2m﹣﹣，

要使上式与k无关，则有6m+14=0，解得m=﹣；

∴存在点M（﹣，0）满足题意

【解析】

（1）椭圆的焦点在x轴上，且a= ， e= ， 故c、b可求，所以椭圆E的方程可以写出来．

（2）将y=k（x+1），代入方程E可得关于x的一元二次方程（*）；设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），M（m，0），由方程（*）根与系数的关系可得，x1+x2 ， x1x2；计算得关于m、k的代数式，要使这个代数式与k无关，可以得到m的值；从而得点M．