已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 ． AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．

已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 ． AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．

（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；

（2）求点D1到面BDE的距离．

【答案】

解：（1）取BD中点M．

连接MC，FM．

∵F为BD1中点，

∴FM∥D1D且FM=D1D．

又ECCC1且EC⊥MC，

∴四边形EFMC是矩形

∴EF⊥CC1 ． 又FM⊥面DBD1 ．

∴EF⊥面DBD1 ．

∵BD1⊂面DBD1 ． ∴EF⊥BD1 ．

故EF为BD1与CC1的公垂线．

（Ⅱ）解：连接ED1 ， 有VE﹣DBD1=VD1﹣DBE ．

由（Ⅰ）知EF⊥面DBD1 ，

设点D1到面BDE的距离为d．

则．

∵AA1=2，AB=1．

∴BD=BE=ED=，EF=，

∴．

∴d==

故点D1到平面DBE的距离为．

【解析】

（1）欲证明EF为BD1与CC1的公垂线，只须证明EF分别与为BD1与CC1垂直即可，可由四边形EFMC是矩形→EF⊥CC1 ． 由EF⊥面DBD1→EF⊥BD1 ．

（2）欲求点D1到面BDE的距离，将距离看成是三棱锥的高，利用等体积法：VE﹣DBD1=VD1﹣DBE ． 求解即得．

【考点精析】解答此题的关键在于理解棱柱的结构特征的相关知识，掌握两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形．